Простое число, разложение чисел на простые множители

Задача: Число а начинается и заканчивается единицей, между которыми стоят 100 нулей: а=100....01. Проверьте, является ли число а простым? Если оно не простое, то найдите все его простые делители.

Функции и графики (ряд Тейлора)

Пример 4. Частичные суммы ряда Тейлора

Задача: Нарисовать графики частичных сумм ряда Тейлора для функции f(x) = e^x. 

Последовательность действий:  

1. Воспользуемся  разложением в ряд Тейлора для произвольной функции f(x). Этот ряд в общем случае имеет вид:





в частности, для нашей функции ряд запишется так:






Последовательно введем значения для частичных сумм последнего ряда, воспользовавшись самой общей формулой:


• F(x)=e^x
• s0=F(0)
• s1(x)=s0(x)+F'(0)/1!*x
• s2(x)=s1(x)+F''(0)/2!*x^2
• s3(x)=s2(x)+F'''(0)/3!*x^3
• s4(x)=s3(x)+F''''(0)/4!*x^4
• s5(x)=s4(x)+F'''''(0)/5!*x^5
• и т.д.



В панели ПОЛОТНО будут отображаться графики всех 6 частичных сумм ряда Телора и график исходной функции F(x). Можно использовать различную расцветку для каждой функции, выключить отображение некоторых промежуточных частичных сумм. На рисунке отчетливо видно "приближение" графиков частичных сумм к графику исходной функции в окрестности точки х=0.

Результаты:

Так будут выглядеть графики при очень сильном увеличении в окрестности точки (0,1). Как видим, график функции и многочлена Тейлора 5-го порядка практически совпадают.

Функции и графики (ряд Фурье)

Пример 3. Частичные суммы ряда Фурье

Задача: Нарисовать графики частичных сумм ряда Фурье для функции f(x) = x-1, если -П < x < П.  

Последовательность действий:  

1. Воспользуемся готовым разложением для заданной функции, оно имеет следующий вид:
   
2. Последовательно введем в поле ввода значения для частичных сумм:
• F(x) = Если[-pi ≤ x ≤ pi, x - 1]
• S0(x)=Если[-pi<=x<=pi, -1]
• S1(x)=S0(x)+2Sin(x)
• S2(x)=S1(x)-sin(2x)
• S3(x) =S2(x)+2sin(3x)/3
• S4(x) =S3(x)-sin(4x)/2
• S5(x) =S4(x)+2sin(5x)/5
• S6(x)=S5(x)-2sin(6x)/6
• S7(x)=S6(x)+2sin(7x)/7
• S8(x)=S7(x)-2sin(8x)/8
• S9(x)=S8(x)+2sin(9x)/9
• S10(x)=S9(x)-2sin(10x)/10
• S11(x)=S10(x)+2sin(11x)/11
• S12(x)=S11(x)-2sin(12x)/12
• S13(x)=S12(x)+2sin(13x)/13
3. В панели ПОЛОТНО будут отображаться графики всех 13 частичных сумм ряда Фурье и график исходной функции F(x). Можно использовать различную расцветку для каждой функции, выключить отображение некоторых промежуточных частичных сумм. На рисунке отчетливо видно "приближение" графиков частичных сумм к графику исходной функции, а также знаменитый эффект Гиббса.

Результат: 

Алгебраические вычисления

Пример 2. Операции над матрицами 

Задача: 

1. Выполнить арифметические действия над матрицами A-B*C.
2. Найти обратную матрицу к матрице A.
3. Вычислить определитель матрицы С.

Использовать следующие данные для матриц:

Последовательность действий: 

1. В окне GeoGebra закрываем панель ПОЛОТНО и оставляем две панели: ПАНЕЛЬ ОБЪЕКТОВ и CAS (Computer Algebra System).
2. В строке ввода последовательно вводим матрицы, выдерживая формат ввода матриц, например,
   
3. Ввод данных произведен. Приступаем к вычислениям. Это можно сделать двумя способами: используя форму ввода и используя панель CAS.

• Используем панель ввода и последовательно набираем в ней требуемые вычисления: A-B*C (Enter), ОбратнаяМатрица[A] или A^(-1) (Enter), Определитель[C] (Enter). При этом в панели объектов появятся результаты вычислений! Обратите внимание, что обратная матрица вычисляется приближенно, с точностью до двух знаков после запятой. Результат вы должны увидеть такой: 

• Используем теперь панель CAS. В панели CAS также последовательно в каждом окне введите требуемые значения: A-B*C (Enter), A^(-1) (Enter), Определитель[C] (Enter). Результаты будут тут же появляться, причем матрицы будут нарисованы в визуальном и удобном для восприятия формате:
  

Парабола в динамике

Пример 1. Парабола в динамике

Задача: Нарисовать график функции y=a*x^2+b*x+c. В зависимости от коэффициентов парабола должна динамически изменяться.

Последовательность действий:  

1. В строке ввода ввести уравнение параболы y=a*x^2+b*x+c. (Еnter)
2. На вопрос создать ползунки для коэффициентов а, b и с согласиться. Рисунок готов.
3. Элементы оформления: Параболу окрасить в красный цвет, а ползунки в зеленый синий и розовый, соответственно. Для этого достаточно активировать объект на картинке (левая кнопка мыши на объекте в окне полотна или панели объектов).

Результат: 

uyu